AI has cracked a key mathematical puzzle for understanding our world

AI, 편미분방정식을 풀어내다

행성 운동부터 판구조론까지 편미분방정식이 사용되지 않는 곳이 없지만, 풀기 어렵다는 점이 항상 문제로 다가온다.

물리학자나 공학자가 아닌 이상, 편미분방정식을 알아야 할 이유는 별로 없다. 나도 안다. 기계공학을 전공하면서 학부 시절 몇 년 동안 편미분방정식을 열심히 공부했지만 실생활에서는 단 한번도 사용해 본 적이 없다.

그러나 편미분방정식(PDE)도 일종의 마법과 같다. 편미분방정식은 공간과 시간의 변화를 잘 설명하는 수학 방정식의 종류로써 우주의 물리적 현상을 설명하는 데 매우 유용하다. 행성 궤도에서 판구조론, 비행을 방해하는 난기류에 이르기까지 모든 것을 모델링하는 데 사용될 수 있으며, 지진 활동 예측, 안전한 비행기 설계 같은 실용적인 일들을 가능하게 해준다.

문제는 PDE가 풀기 어렵기로 악명 높다는 것이다. 여기서 “풀다”의 의미는 아래의 사례에 가장 잘 설명되어 있다. 새로운 비행기 설계를 테스트하기 위해 난기류를 시뮬레이션한다고 가정해보자. 나비에-스토크스(Navier-Stokes)라는 PDE는 유체의 움직임을 묘사하는 데 사용된다. 나비에-스토크스 방정식을 활용하여 공기의 움직임 (즉, 바람의 상태)을 언제든지 스냅샷으로 찍어서 바람이 어떻게 계속 이동할지, 또는 어떻게 이동하고 있었는지 모델링할 수 있다.

이러한 계산은 매우 복잡하고 연산 비중이 크다. PDE를 많이 사용하는 학문이 슈퍼컴퓨터에 의존하여 수학문제를 해결하는 이유이기도 한다. AI 분야가 부분 편미분방정식에 각별한 관심을 보인 이유도 여기에 있다. 만약 딥러닝으로 문제 해결 속도를 높일 수 있다면, 과학 연구와 공학에 큰 도움이 될 수 있을 것이다.

최근 칼텍 연구원들은 기존의 딥러닝 방법보다 훨씬 더 정확하게 PDE를 풀기 위해 새로운 딥러닝 기법을 도입했다. 또한 새로운 딥러닝 기법은 훨씬 더 일반화하기 편하고, 어떤 종류의 유체에도 나비에-스토크스 방정식 등 모든 PDE를 재교육 없이 풀 수 있다. 게다가 기존 수학 공식보다 천배 더 빠른데, 슈퍼컴퓨터 의존도를 줄이고 더 큰 문제를 모델링하기 위한 계산 능력을 증대시킨다. 좋다. 한번 해보자.

이제 본격적인 작업 시간!

연구진이 어떤 방식으로 이 연구를 수행했는지 알아보기 전에, 먼저 결과를 높이 평가해 보자. 아래 도표에서 인상적인 결과를 확인할 수 있다. 첫 번째 열 스냅샷에는 유체의 움직임이 보인다. 두 번째 열은 유체가 실제로 어떻게 계속 이동했는지 보여준다. 세 번째 열에는 신경망이 유체의 움직임을 어떻게 예측했는지 나타나 있는데, 세 번째와 두 번째는 기본적으로 같아 보인다.

적절한 함수 찾기

여기서 먼저 알아야 할 것은 신경망은 기본적으로 함수 근사치(Function Approximator)라는 점이다. 신경망이 한 쌍의 입출력 데이터 세트로 훈련할 때, 신경망은 실제로 하나를 다른 것으로 바꿀 함수, 즉 일련의 수학 연산을 계산하고 있다. 고양이 탐지기를 예로 들어보자. 신경망을 다음과 같이 훈련시킨다. 고양이 이미지와 고양이가 아닌 이미지를 많이 보여주고(입력), 각 그룹에 1 또는 0으로 라벨을 붙인다(출력). 그리고 나서 신경망은 고양이의 각 이미지를 1로, 고양이를 제외한 모든 것의 각 이미지를 0으로 변환할 수 있는 최적의 함수를 찾는다. 그래야 탐지기는 새로운 이미지를 보고 고양이인지 아닌지 알려줄 수 있다. 정답을 맞추기 위해 함수를 이용하는 것이다. 그리고 만약 훈련을 잘 받았다면, 대부분의 경우 정답을 바로 맞출 수 있을 것이다.

이 함수 근사 과정은 PDE 풀기에 안성맞춤이다. 우리는 궁극적으로 물리적 공간과 시간을 넘어서 공기 입자의 움직임을 가장 잘 설명하는 함수를 찾으려고 노력하고 있다.

자, 여기 논문의 핵심이 있다. 신경망은 대개 유클리드 공간(Euclidean Space)에서 정의한 입력과 출력 사이의 함수 근사치, 즉 x, y, z축이 있는 전형적인 그래프로 훈련된다. 그러나 이번에 연구진은 파동 주파수를 표시하기 위해 특별한 형태의 그래프인 푸리에 공간(Fourier Space)에서 입력과 출력을 정의하기로 했다. 칼텍의 애니마 아난드쿠마르(Anima Anandkumar) 교수는 동료 교수 앤드류 스튜어트(Andrew Stuart), 카우식 바타차랴(Kaushik Bhattacharya)와 함께 연구를 총괄하였고, “공기의 움직임과 같은 것이 실제로 파동 주파수의 조합으로 묘사될 수 있다”고 말했다. 매크로 수준에서 일반적인 바람의 방향은 파동이 아주 길고 활발하지 않은 저주파와 같은 반면, 마이크로 수준에서 형성되는 작은 소용돌이는 파동이 매우 짧고 빠른 고주파와 같다.

이것이 왜 중요한가? 유클리드 공간에서 PDE와 씨름하는 것보다 푸리에 공간에서 푸리에 함수 근사값을 구하는 것이 훨씬 간단해서, 신경망 업무를 많이 줄여주기 때문이다. 정확도는 높아지고 효율성도 증대된다. 기존 방법보다 속도가 상당히 빠르다는 장점 외에도, 이 기술을 활용하여 나비에 스토크스를 풀 면 기존의 딥러닝 방식보다 오류 확률이 30% 낮다.

전반적으로 굉장히 똑똑한 기술이며, 일반화하기도 더 쉽다. 기존의 딥러닝은 모든 타입의 유체에 대해 각각 훈련이 필요한 반면, 이 방법은 연구진의 실험에서 확인한 바와 같이, 한 번만 훈련하면 된다. 아직 다른 사례까지 확대 적용해 보지는 않았지만, 지진 활동과 연관된 PDE를 풀 때는 모든 토양 구성 물질에 대처할 수 있어야 하며, 열 전도율과 관련된 PDE를 풀 때는 모든 재료 유형을 처리할 수 있어야 한다.

슈퍼 시뮬레이션

교수진과 박사과정학생들이 이론적인 재미만을 위해 이 연구를 수행한 것은 아니다. AI를 더 과학적인 분야로 불러들이고 싶어한다. 아난드쿠마르 교수가 처음 동료 교수, 제자와 함께 PDE에 도전하기로 결심한 것은 기후과학, 지진학, 재료과학 분야에 종사하는 여러 동료와의 대화를 통해서였다. 그들은 현재 칼텍과 로렌스 버클리 국립 연구소 연구진과 함께 방법을 실행에 옮기기 위해 연구 중이다.

아난드쿠마르 교수가 특히 흥미를 보이는 연구 주제는 기후변화이다. 나비에 스토크스는 난기류 모델링에는 유용하지 않고, 기후 패턴 모델링에 활용된다. 아난드쿠마르 교수는”세계적으로 정확하고 구체적인 일기 예보를 하기란 매우 어려운 문제”라며 “제일 큰 슈퍼컴퓨터로도, 현재는 불가능하다. 그래서 이러한 방법을 사용하여 전체적으로 속도를 높인다면, 파급력은 어마어마할 것으로 예상된다”고 주장했다.

그는 “적용할 곳이 아주 많다”고 하며, “속도를 높일 수 있는 쉬운 방법도 있는데, 마음만 있다면 못할 일이 무엇이겠는가”라고 덧붙였다.

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